Standardabweichung und Varianz - Formel mit Beispielen


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Standardabweichung und Varianz - Formel mit Beispielen

Auf dieser Seite bieten wir eine Definition mit Formeln und Beispielen zur Standardabweichung und Varianz. Die beiden Werte aus der Statistik hängen stark voneinander ab, da die Standardabweichung aus der Wurzel der Varianz berechnet wird.

Definition - Standardabweichung und Varianz
In der Statistik wird häufig die Standardabweichung von erwarteten Werten abgefragt, neben den Wahrscheinlichkeiten. Die Standardabweichung gibt die Streuung der Einzelwerte um den Erwartungswert an. Salopp gesagt ist die Standardabweichung so etwas wie ein “Schwankungswert um den Mittelwert”. Zur Berechnung der Standardabweichung (s) müssen zunächst die Größen arithmetisches Mittel (siehe Erklärung) und Varianz bestimmt werden. Die Varianz (s-Quadrat) gibt die mittlere, quadratische Abweichung einer Datenmenge vom aritmetischen Mittel an. In Excel kann aus einem Wertebereich mit der Funktion =STABW(Zahl1,Zahl2,...) die Standardabweichung ermittelt werden.

Standardabweichung und Varianz - Formeln mit Beispielen
Beispiel 1: Standardabweichung aus Urliste
Aufgrund der Urlaubsregelung und dem Krankenstand, fallen in einer Baufirma unterschiedliche Summen an Arbeitsstunden pro Tag an. Die Mitarbeiter leisten in einer Arbeitswoche insgesamt 139,145,120,145,98 Std. pro Tag. Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung.

arith. Mittelwert x’ = ⅀x / n (Summe der Werte / Anzahl) = (139+145+120+145+98)/5 = 129,4
Varianz S² = ⅀(x-x’)² / n = ((139-129,4)²+(145-129,4)²+(120-129,4)²+(145-129,4)²+(98-129,4)²) / 5 = (92,16+243,36+88,36+243,36+985,96) / 5 = 1653,2 / 5 = 330,64
Standardabweichung S = Wurzel aus S² = √330,64 = 18,18

Beispiel 2: Standardabweichung aus Häufigkeitstabelle ohne Klassen
Bei Häufigkeiten wird die Formel für den Mittelwert x’ und die Varianz S² um die Häufigkeit ergänzt (jeden Wert mit der Häufigkeit multiplizieren). Die Formel für die Standardabweichung bleibt gleich. Im Folgenden soll die Standardabweichung vom durchschnittlichen Krankenstand ermittelt werden. Angegeben sich die Anzahl der Krankentage im Jahr und die Anzahl der Mitarbeiter.
5 Krankentage hatten 3 Mitarbeiter
6 Krankentage hatten 7 Mitarbeiter
7 Krankentage hatten 2 Mitarbeiter
8 Krankentage hatte 1 Mitarbeiter
9 Krankentage hatten 4 Mitarbeter

arith. Mittelwert x’ = ⅀(x * y) / n = (5*3+6*7+7*2+8*1+9*4)/ 17 = 6,76
Varianz S² = ⅀((x-x’)²*y) / n = ((5-6,76)²*3 + (6-6,76)²*7 + (7-6,76)²*2+ (8-6,76)²*1+ (9-6,76)²*4) / 17= (9,2928+4,0432+0,1152+1,5376+22,3104)/17 = 2,19
Standardabweichung S = Wurzel aus S² = √2,19 = 1,48

Beispiel 3: Standardabweichung aus Häufigkeitstabelle mit Klassen
Bei Häufigkeitstabellen mit Klassen muss ein arith. Mittelwert innerhalb der Klassen gebildet werden. Mit diesem Mittelwert wird genauso wie im Beispiel 2 weiter gerechnet.
0 - 4 Krankentage hatten 2 Mitarbeiter - Mittelwert Klasse 1= (0+4) / 2 = 2
5 - 7 Krankentage hatten 7 Mitarbeiter - Mittelwert Klasse 2= (5+7) / 2 = 6
8 - 10 Krankentage hatten 3 Mitarbeiter - Mittelwert Klasse 3= (8+10) / 2 = 9

arith. Mittelwert x’ = ⅀(x * y) / n = (2*2+6*7+9*3)/ 12 = 6,08
Varianz S² = ⅀((x-x’)²*y) / n = ((2-6,08)²*2 + (6-6,08)²*7 + (9-6,08)²*3) / 12 = (33,2928+0,0448+25,5792)/12 = 4,91
Standardabweichung S = Wurzel aus S² = √3,52 = 1,87

Absolute und relative Standardabweichung
In den oberen Beispielen haben wir immer die absolute Standardabweichung betrachtet. Die relative Standardabweichung (Variationskoeffizient genannt) setzt die absolute Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert, also lautet die Formel: Absolute Standardabweichung / Mittelwert = relative Standardabweichung.

Beispiel 4: relative Standardabweichung
Die relative Standardabweichung aus Beispiel 3 (siehe oben).
rel. S = abs. S / x’ = 1,87 / 6,08 = 0,31 (entspricht 31 % relativer Standardabweichung)

FrageAnzahl
Es wurden die Körpergrößen von 100 Personen erfasst. Bestimmen Sie die Standardabweichung bei folgenden Klassen: 162 cm - 1 Person, 164,5 cm - 2 Personen, 167 cm - 5 Personen, 169,5 cm - 8 Personen, 172 cm - 16 Personen, 174,5 cm - 17 Personen, 177 cm - 14 Personen, 179,5 cm - 19 Personen, 182 cm - 8 Personen, 184,5 cm - 4 Personen, 187 cm - 6 Personen.

Häufigkeit der Antworten:
4,9 cm (16.04%), 5,1 cm (32.08%), 5,4 cm (19.53%), 5,5 cm (32.35%) richtig
1147
Es wurden die Körpergrößen von 100 Personen erfasst. Folgende Klassen wurden gebildet: 162 cm - 1 Person, 164,5 cm - 2 Personen, 167 cm - 5 Personen, 169,5 cm - 8 Personen, 172 cm - 16 Personen, 174,5 cm - 17 Personen, 177 cm - 14 Personen, 179,5 cm - 19 Personen, 182 cm - 8 Personen, 184,5 cm - 4 Personen, 187 cm - 6 Personen. Gehen Sie von einer Normalverteilung aus und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person nicht größer als 171 cm ist.

Häufigkeit der Antworten:
16,5 % (29.56%), 17,7 % (47.43%) richtig, 18,6 % (15.78%), 19,2 % (7.24%)
1147
Aufgrund von umfangreichen Stichproben weiß man, dass bei 18- bis 20-jährigen Frauen 9,8% höchstens 159,6 cm und 9,8% mindestens 176,4 cm sind. Die Körpergröße kann als normalverteilt angesehen werden. Berechnen Sie den Mittelwert.

Häufigkeit der Antworten:
165 cm (8.81%), 166 cm (19.11%), 167 cm (27.05%), 168 cm (45.03%) richtig
1146
Aufgrund von umfangreichen Stichproben weiß man, dass bei 18- bis 20-jährigen Frauen 9,8% höchstens 159,6 cm und 9,8% mindestens 176,4 cm sind. Die Körpergröße kann als normalverteilt angesehen werden. Berechnen Sie die Standardabweichung.

Häufigkeit der Antworten:
6,5 cm (31.59%) richtig, 5,5 cm (29.41%), 4,5 cm (28.27%), 7,5 cm (10.73%)
1146
Es wurden die Körpergrößen von 100 Personen erfasst. Bestimmen Sie den Mittelwert bei folgenden Klassen: 162 cm - 1 Person, 164,5 cm - 2 Personen, 167 cm - 5 Personen, 169,5 cm - 8 Personen, 172 cm - 16 Personen, 174,5 cm - 17 Personen, 177 cm - 14 Personen, 179,5 cm - 19 Personen, 182 cm - 8 Personen, 184,5 cm - 4 Personen, 187 cm - 6 Personen.

Häufigkeit der Antworten:
176,1 cm (45.3%) richtig, 179,5 cm (24.17%), 177,8 cm (19.39%), 175,5 cm (11.13%)
1150
Stochastik: In einer Stadt befinden sich 50 Unternehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Unternehmen einen Ausbildungsplatz anbietet, beträgt 0,7. Berechnen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Unternehmen mit Ausbildungsplätzen innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

Häufigkeit der Antworten:
0,86096 (24.71%), 0,14056 (27.57%), 0,71536 (38.19%) richtig, 0,97645 (9.53%)
16328


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